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對新課標下數學概念教學的認識與思考

2010-6-6 來源:本站

對新課標下數學概念教學的認識與思考
 湖北第二師範學院  馮光庭
 武漢市亚博苹果下载  劉忠君
《普通高中數學課程標準》指出:在教學中“應強調對基本概念和基本思想的理解和掌握,對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數學教學的始終,幫助學生逐步加深理解”。筆者最近觀摩了部分教師的“概念課”的教學活動,深深感覺到“概念課”對提高課堂教學質量所起的積極作用是其它課型無法比擬的,並由此引發對“概念課”教學的認識與思考。在此,筆者就“概念課”的教學談談自己的認識與看法,並願與同行共同探討。
一、數學概念教學必須弄清的幾個問題
1、數學概念的內涵和外延
概念是思維的基本形式,具有確定研究對象和任務的作用。數學概念則是數學思維的基本形式之一,是人們對客觀世界從感性認識上升到理性認識的創造性成果。數學概念是客觀事物中數與形的本質屬性的反映,是構建數學理論大廈的基石,也可以說,數學概念是數學學科的靈魂和精髓。
在數學概念中,內涵和外延是構成數學概念的兩個重要方面。數學概念的內涵就是該概念所包含的一切對象的共同的本質的屬性,數學概念的外延就是該概念所包含的一切對象的總和。即若用集合 表示一個概念的外延時,則其中的 就是這個概念的內涵。如“函數”,其內涵就是從“一個非空數集A到另一個非空數集B的一個映射”,其外延就是具體的函數——正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數、……;又如圓錐曲線中的“橢圓(雙曲線)”,其內涵是“平面上到兩個定點的距離之和為定長的點的集合”,外延是指平面上各種各樣的橢圓(雙曲線)。一般來講,概念的內涵和外延成反比例關係,即內涵越大,則外延越小;反之內涵越小,則外延越大。學習概念的關鍵是理解其內涵和外延,但在實際的學習和運用過程中,一些學生因對數學概念的外延把握不准而片面的理解概念,在運用中漏洞百出;一些學生只註重概念的形式,忽視其本質,以至不能靈活運用數學概念。
2、數學概念的分類方法
數學概念的分類方法有多種,它取決於研究者的觀察視角和研究目的。但在教學過程中,教師必須掌握以下兩種分類方法:
⑴以數學概念所反映的事物屬性的類別為標準,可將其分為三類:反映數學基本元素的概念(如函數、棱柱、雙曲線等),反映對象關係的概念(如平行、垂直、反函數、包含、充要條件等),反映對象特性的概念(如奇偶性、周期性、對稱性、數列的極限等)。
⑵以數學概念的定義方式為標準,可將其分為四類:約定型的概念——特殊規定,即通過某種約定而獲得概念(如 、 );實質型的概念——指出這個概念區別於其它概念的本質特征(如映射、等差數列等);外延型的概念——若干類特殊對象的並,即列舉出這個概念的全部對象(如實數);發生型的概念——構造過程,即描述出這個對象產生的過程(如橢圓、旋轉體中的圓柱、圓錐、圓台和球、排列、組合等)。
3、數學概念教學的基本要求
數學概念教學的基本要求是“幫助學生逐步加深理解”,“在初步運用中逐步理解概念的本質”。讓學生掌握數學概念,即在理解的基礎上,把它運用到新的情境之中。教學中,要使學生形成和掌握數學概念,必須達到以下基本要求:
⑴瞭解概念的實際背景,弄清概念產生的來龍去脈,理解定義概念的必要性與合理性;
⑵掌握概念的內涵和外延,即知道概念的本質屬性是什麼,哪些事物不屬於這個概念,哪些事物屬於這個概念,並能對其進行分類;
⑶能用不同方式和語言表述概念,熟悉其中符號的意義;
⑷明確新概念與已掌握的相關概念之間的內在聯繫,將新概念“同化”於原有的認知結構、知識體系之中,並能運用概念解決簡單的具體問題。
如:“函數的單調性”,在學習時應讓學生瞭解和掌握的有以下內容:
①它是從一些特殊函數圖像的上升和下降的特征抽象概括出來反映對象特征的概念;
②本質:函數 在區間I上為增函數(或減函數),則對於任意 、 且 ,有 (或 ),反之亦然;
③用於分析基本初等函數,可得到基本初等函數的單調性,使我們更加清楚地認識初等函數;
④用於一般情形:判斷函數的單調性,確定函數的單調區間,進而討論函數圖像的性質,比較函數值的大小,求函數的極值等。
二、數學概念教學的一般過程
《普通高中數學課程標準》在“實施建議”中指出:“由於數學高度抽象性的特點,註重體現數學概念的來龍去脈。在教學中要引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程,在初步運用中逐步理解概念的本質。”數學概念的教學目的是幫助學生建立數學概念、理解數學概念、進而掌握數學概念,併在這個過程中學習數學的方法、體驗數學的思想、感受數學文化。因而數學概念的教學應是一個過程,這個過程一般應包括:引入、形成、剖析、鞏固和運用等五個主要步驟。
1、引入概念
布魯納曾指出:“當基本概念以正規形式出現在兒童面前時,他們如果事先沒有從直覺上加以理解,對這些概念則將無能為力。”正因為如此,概念的引入是學生能否學好概念的關鍵一步。一般來講,概念的引入有以下三種方法:
⑴通過對現實材料分析抽象引入概念。使學生獲得豐富的和切全實際的感性材料是學生理解數學概念的首要條件。教學中,引導學生從分析日常生活和生產實際中的實例入手,通過觀察有關的實物、圖示、模型,或引導學生根據已有的數學經驗和知識,通過對熟悉的數學對象(如代數式、圖形等)的數量關係和空間形式的觀察和分析,在形成充分感性認識的基礎上引入概念。
⑵通過數學自身發展的內在需要引入概念。數學自身發展的內在需要既是推動數學發展的動力之一,也是調動學生學習積極性、激發其內在需要的重要素材。通過揭示數學自身發展過程中的矛盾、問題,打破學生的原有的認知結構,再引導學生探索化解矛盾和解決問題的途徑,從而引入概念。
⑶通過類比引入概念。類比不僅是思維的一種重要形式,而且也是引入新概念的一種重要方法。如二面角可類比平面角引入;等比數列可類比等差數列引入;組合可類比排列引入等。這種類比還可以在不同類的,但相似、相近或相關的事物中進行,通過類比能使相比較的客體的本質更加明確,使“模糊”的概念更加清晰,更能防止知識間的混淆和割離。
2、形成概念
瑞士心理學家皮亞傑曾指出:“任何教學水平上,概念的形成乃是兒童活動和個體經驗的結果。”學生要真正形成數學概念,必須實現從對數學對象的具體的感性認識到對數學對象的抽象的理性認識的飛躍,這個“飛躍”過程是學生觀察、分析、感知數學對象的過程,也是學生在教師引導下對數學對象的加工改造、精確刻畫、抽象概括、探索發現的過程。
一般地,學生要形成一個數學概念,需要經歷一個從片面到全面、從模糊到清晰、從表象聯繫到實質聯繫的複雜的思維過程,決不可能一步到位。所以,在教學中教師不能急於求成,不能急於下定義,急於拋出概念,而應引導學生進行觀察、分析、綜合、探索、猜想、創造,決定取捨,形成概念,讓學生在交流中、在反思中逐步實現對數學對象的具體的感性認識到對數學對象的理性認識的過渡,從而形成概念。
比如在“異面直線的距離”概念的教學中,教材中是先給出異面直線公垂線的概念,然後指出兩垂足間的線段長就叫做兩條異面直線的距離。這樣做並不能讓學生認識到這個概念的本質。教學中可以先讓學生回顧一下過去學過的有關距離的概念,如兩點之間的距離,點到直線的距離,兩條平行線之間的距離,引導學生思考這些距離有什麼特點。回顧之後發現共同的特點是最短與垂直。然後啟發學生思考:在兩條異面直線上是否也存在這樣的兩點,它們之間的距離是否是最短的?如果存在,應當有什麼特征?通過實物模型演示確認這樣的線段存在,且其長是最短的。在此基礎上,自然地給出異面直線距離的概念。這樣做,不僅使學生得到了探索、猜想、歸納、概括能力的訓練,還嘗到了數學發現的滋味,認識到“異面直線的距離”這個概念的本質。
3、剖析概念
在初步建立數學概念的定義之後,學生雖然對其有了一定的理性認識,但這僅僅是對概念認識的開始,面對新的數學術語和新的數學符號,需要有一個解讀的過程和理解的過程,這就需要教師及時地引導學生來“解剖”定義,分析其結構特征、揭示其關鍵詞的涵義、探討其內涵和外延、尋求其表示方法、對其所包含的對象進行分類,在這個過程中理解概念的定義,從而實現對概念的透徹理解。
這裡要特別強調的是在數學概念的教學中教師不能僅滿足學生獲得概念、得到定義,更不能只要求學生形式地背誦定義而不理解它們的實際背景。因為數學概念的定義語言精煉、符號抽象,對初學者來講要真正理解定義中的數學術語和數學符號的涵義是困難的,即使成績優秀的學生,也需要教師幫助他們理解其涵義。而有些概念由於其內涵豐富、外延廣泛等原因,很難一步到位,需要分成若干個層次,逐步加深提高。
如三角函數的定義,經歷了以下三個循序漸進、不斷深化的過程:⑴用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數的定義;⑵用點的坐標表示的銳角三角函數的定義;⑶任意角的三角函數的定義。由此概念衍生出:①三角函數值在各個象限的符號;②同角三角函數的基本關係式;③三角函數線;④三角函數的圖象與性質;⑤三角函數的誘導公式等。由此可見,三角函數的定義在三角函數教學中可謂重中之重,是整個三角部分的奠基石,它貫穿於與三角有關的各部分內容並起著關鍵的作用。
再如講解“函數單調性”的概念後,對其進行剖析:(1) 、 是該區間內任意的兩個實數,如果忽略任意取值這個條件,就不能保證函數的單調性,然後舉例說明;(2) 函數的單調區間是其定義域上的子集;(3) 定義的內涵是用自變量的變化來刻劃函數值的變化規律 ,外延分為:①一般規律——自變量的變化與函數值的變化一致時是單調遞增,自變量的變化與函數值的變化相反時是單調遞減,②幾何特征——在自變量取值的區間上,若單調函數的圖象從左向右上升則為增函數,圖象從左向右下降則為減函數。
4、鞏固概念
研究表明,概念一旦獲得,若不及時加以鞏固,就會被遺忘。鞏固概念,首先應當在形成和剖析之後,及時地讓學生閱讀教材,複述概念,並用不同的方法描述概念、表示概念,以加深對概念的印象;其次是進行鞏固性練習,設計有一定層次的、體現概念本質特征的練習,讓學生在識別、判斷、推理或計算的過程中,加深對概念的理解,達到鞏固概念的目的;第三是通過舉反例從反面來鞏固概念,防止學生對概念理解的片面性,防止在應用過程中出現錯誤和混淆。
5、應用概念
應用概念是學生真正理解概念、掌握概念的重要一環。在學生獲得數學概念之後,就立即引導學生運用所學概念來解決“引入概念”時提出的問題或其它問題(包括數學問題和生產、生活中的實際問題),讓學生在解決問題的過程中深化對概念的認識,理解概念的本質,從而將其同化於已有的知識結構之中。
如,在建立“映射”的概念之後,引導學生嘗試解決以下問題,可有效地幫助學生對概念加以鞏固,並加深對概念內涵與外延的理解:
問題1:下列對應是否是集合A到集合B的映射?
⑴A=R,B=R+, :x→y =|x|;
⑵A=N,B=N+ , :x→y =|x-4|;
⑶ , , :x→y =x2-2x+2;
⑷ , , :x→y =(b-a)x+2a-b。
問題2:集合A=N+ , , :x→ ;求在 的作用下 的原象。
問題3:已知A={p,q},B={a,b,c},從集合A到集合B的所有映射有多少個?
三、數學概念的教學設計
在具體實施數學概念教學的過程中,因為影響學生理解和掌握的因素是多種多樣的,各個概念產生的背景和表現形式也是多種多樣的,所以教師應靈活地設計出符合學生認知特點的、體現概念特征的教學活動過程,並註意以下幾點:
第一、學生學習和掌握數學概念需要有一個過程。任何概念,特別是數學概念,不是直接由教師向學生 “拋出”概念之後、再講幾個例子就能使學生真正掌握的,這就需要教師在教學過程中認真落實“展示背景、挖掘本質、推遲判斷、暴露思維”的原則,讓學生真正感受到引入概念的必要性、定義概念的合理性,然後通過自己的觀察、實驗和感知,類比、歸納和猜想、分析、綜合和推理等探索活動,實現對新概念的建構。
第二、為了幫助學生更有效地學習數學概念,教師要註意直觀教學的原則,力圖用形象化的方式(包括形象化的語言、形象化的動作、形象化的符號和使用直觀教具)解釋數學概念。還要及時地引導學生對所學概念進行分類和總結,使之系統化和條理化,並納入自己的知識系統之中。
第三、由於數學概念的高度抽象性和數學語言的精煉性,學生對數學概念的理解和掌握不可能一次就能實現,甚至有的數學概念本身就不能通過一次的教學來完成,還需要借助於不同的知識才能真正理解它。所以教師要從整體出發、科學設計、合理安排對一些重要概念的鞏固和強化,使之通過一定的反覆(如習題課、複習課等)逐步加深理解、實現內化。
第四、在概念的教學過程中滲透數學思想方法,使學生受到數學文化的熏陶。數學概念產生的過程,正是眾多數學家探索、發現和創造的過程,也是數學思想方法產生的過程。如果教師能通過深挖數學概念的背景,將發現過程中活生生的數學“返璞歸真”地教給學生、將數學家們艱難的探索歷程展現給學生,並讓學生親自參與發現過程中困惑的情景,歷經探索過程的磨礪,從而汲取更多的思維營養、體會數學的思想方法和數學的精神、感受數學家的堅強意志和獻身精神,受到數學文化的熏陶。
另外,在概念教學中,要根據新課標對概念教學的具體要求,創造性地使用教材,對教材中干擾概念教學的例子要更換,對脫離學生實際的概念運用問題要大膽刪去。要優化教學設計,真正使學生在參與的過程中產生內心的體驗和創造,達到認識數學思想和本質的目的,培養學生運用數學知識解決實際問題的能力,併在此過程中培養學生邏輯思維和空間想象的能力。只有這樣,才能使我們在教學時中目的明確,方法對頭,既不會造成為概念而教學,也不會在教學時顧此失彼。
課堂教學是一門藝術,作為“概念課”,理應為它增色添彩。如何上好“概念課”,是值得我們每個教師認真探討和研究的問題。以上僅從三個方面談了自己的認識與看法,很不全面,願作引玉之“磚”,並懇請同行斧正。
 
 
 
 
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